TEOREMA DE PITAGORAS

EJEMPLOS DEL TEOREMA DE PITAGORAS

Este teorema expresa que la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual a los cuadrados construidos sobre la hipotenusa.

Este teorema se expresa de la siguiente manera:

C² = a² + b²

Donde c es la hipotenusa             a  y  b  son los catetos

EJERCICIOS DE APLICACIÓN:

 1.- Determine el valor del lado desconocido en cada una de las siguientes figuras:

En esta figura el valor de la hipotenusa es 6.5m (la diagonal representada por la escalera) y tenemos el valor del cateto a=1.9m ( la horizontal) por lo que debemos calcular la altura del muro o cateto b.

Por lo que la formula se convierte en:   b² =                            B= raíz cuadrada de (6.5m)² – (1.9m)²

 El valor de b será la raíz de 42.25m² – 3.61m² = raíz de 38.65 = 6.21 m

Este valor representa la altura del muro.

NOTA: El teorema de Pitágoras solamente se aplica a triángulos rectángulos.

  

2.. De acuerdo con la figura, determine la altura del árbol si el valor de la hipotenusa es de 8m y la distancia del punto B al punto D (cateto a) es de 5m.

En este caso calcularemos el valor del cateto b

Utilizamos la formula   b= raíz cuadrada de c²- a²

Obteniendo     b= raíz de (8m)² – (5m)²

Resultando     b= raíz de 64m² – 25m²= raíz de 39m²  = 6.24m

Por lo tanto la altura del árbol es de 6.24 m

RESTA DE ANGULOS

RESTA DE ÁNGULOS  EXPRESADOS EN GRADOS, MINUTOS Y SEGUNDOS.

Los pasos que tenemos que seguir para poder restar ángulos son un poco más complejos:

1º. En primer lugar, igual que en el caso anterior, colocamos nuestro ángulos uno debajo de otro diferenciando en tres columnas.

2º. Una vez colocado, comenzamos a restar, empezando por los segundos. A la hora de restar, podemos encontrarnos con la situación de que el número de arriba sea menor que el de abajo, entonces, para poder hacer la resta, tendremos que quitar una unidad del orden superior (los minutos) y sumarle entonces 60 de tal forma que ya podremos realizar la resta. Este paso, se realizará las veces que sea necesario.

Ejemplo: Dados los siguientes ángulos:  38° 13′ 41″   y    25° 47′ 6″, realiza la operación de resta: .

1er Paso:. Restamos grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos.
                           38    13    41
                       -   25    47   06
                       ______________
                           13   -34    35 
En la segunda columna ( de derecha a izquierda ) el resultado es negativo entonces le sumamos 60 y a a siguiente columna le restamos esta cantidad pero en grados (un grado) y el resultado final es:
                           13    -34    35
                          -  1     60    
                     _______________
                           12     26    35                     12 grados    26 '    35 "

Ejemplo: Dados los siguientes ángulos:  23 grados  12'   36"    y   12 grados    50'    16"  realice la  

                operación de resta de ángulos.

1er Paso:. Restamos grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos.
                            23        12´     36"
                         -  12        50´     16"
                       __________________
                             11      - 38      20"
En la segunda columna ( de derecha a izquierda ) el resultado es negativo entonces le sumamos 60 y a a siguiente columna le restamos esta cantidad pero en grados (un grado) y el resultado final es:

                             11       - 38     20
                             -1          60
                          _________________
                            10         22      20              10  grados     22´    20"

SUMA DE ANGULOS

En este caso vamos a sumar dos ángulos que estén expresados en grados, minutos y segundos:
Para comenzar,  debemos considerar que 60" equivale a 1 minuto
 que un minuto corresponde a 60 grados. 

PRIMER PASO: Se desarrolla la suma aritmética de segundos con segundos, de minutos con minutos y de grados con grados:              

68º 35' 42'' + 56º 46' 39''

Si alguno de los resultados se pasa del valor 60, le restamos 60 y a la seguiente 

SUMA DE ANGULOS

SUMA DE ÁNGULOS

Los pasos que debemos llevar a cabo para sumar dos ángulos son:

1º. Colocamos un ángulo debajo de otro, haciendo coincidir segundos con segundos, minutos con minutos y grados con grados, quedando determinadas de esta manera tres columnas.

2º. Sumamos cada uno de las columnas anteriores por separado.

3º. Tenemos que dejar todas las unidades, excepto los grados, con un número menor que 60 (entre 0 y 59). Para ello, comenzando por el final, es decir, por los segundos, en el caso de que sea mayor o igual a 60 dividimos la cantidad entre 60, de tal forma que el cociente será el número de minutos (en este caso, o de la unidad siguiente en cualquier otro)que le sumaremos a los que ya tenemos, y el resto el número de segundos que quedarán. Este proceso se repetirá con los minutos obtenidos si son mayor o igual de 60.

Ejemplo: Realiza la suma de los siguientes ángulos: Â= 34° 13′ 54″ y Ḃ= 18° 40′ 27″.
1º . Colocamos la suma por columnas y tenemos:
                        34    13´    54"
                      +18    40´    27"
                      _____________
                        52     53´   81"


3º. Como nos han salido 81 segundos y se pasan de 60, a 81 le restamos 60, obtenemos 21  y le agrego a la siguiente columna un minuto. Por tanto, sumamos un minuto a lo que teníamos antes:

                       52    53´  81"
                               +1  -60"
                    ____________
                      52     54´    21"

ÁNGULOS

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS DE ACUERDO A SU VALOR NUMÉRICO

Un ángulo es la abertura entre dos rectas que se unen a través de un punto llamado vértice:

La abertura de los ángulos debe considerarse en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj y se clasifican de la siguiente manera:

A).- Ángulo agudo: Mide menos de 90° y más de 0 °.

B).- Ángulo recto: Mide 90° y sus lados son siempre perpendiculares entre sí.

C).- Ángulo obtuso: Mayor que 90° pero menor que 180°.

D).- Ángulo llano: Mide 180°. Igual que si juntamos dos ángulos rectos.

E).- Ángulo cóncavo: Es un ángulo mayor que un ángulo obtuso pero menor que un ángulo completo.

 F).- Ángulo completo: Es aquél que mide 360°.

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS.

Dos o mas ángulos son complementarios si al sumar sus valores numéricos nos dan 90 grados.

Ejemplo:

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS.
Dos o mas ángulos son suplementarios si al sumar sus valores numéricos nos dan 180 grados.

Ejemplo:

Tarea No. 1: Investigar que es un teodolito y conseguir el material para implementarlo en clase.

TRIÁNGULOS

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
Los triángulos son figuras geométricas de tres lados y tres ángulos y los podemos clasificar de acuerdo al valor de sus lados y de acuerdo al valor de sus ángulos. 

De acuerdo al valor de sus lados se clasifican en:

1).- triángulo equilátero.

Las palabras equi - látero vienen del latín: igual – lado.

Son los triángulos cuyos tres lados son iguales: 

 

Nota: Recordemos que la suma de los ángulos interiores de cualquier triangulo debe ser de 180 grados.

2).- triángulo isósceles.

El triangulo isósceles tiene dos lados iguales y un desigual.

3).- triángulo escaleno.

Este triángulo tiene sus tres lados distintos:

De acuerdo al valor de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:

1).- Triángulos rectángulos: Son aquéllos que tienen un ángulo recto (ángulo de 90 grados).

Ejemplos de triángulos rectángulos:

En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se le llama hipotenusa   y los lados perpendiculares que forman el ángulo recto se llaman catetos.

2).- Triangulo obtusángulo: Es aquél que tiene un ángulo obtuso (mayor que 90 grados pero menor que 180 grados):

3).- Triangulo oblicuángulo: Es aquél que no es recto en ninguno de sus ángulos y todos sus ángulos interiores son distintos: